02 - 10 - 2014

Número áureo, el - Valor del número áureo

Valor del número áureo

A continuación, y puesto que ya hemos presentado el número e incluso lo hemos ubicado en el grupo de los irracionales, haremos por fin una inmersión profunda en su naturaleza matemática. Vamos a calcular el número Φ.

 

 

Si tenemos un segmento y en él tomamos dos partes, la partición que hemos hecho será en media y extrema razón, o sea, será una partición áurea, cuando:

Esta igualdad nos lleva (ya que para que dos fracciones sean iguales o equivalentes lo tienen que ser sus productos en cruz: a/b = c/d ⇔ a · d = b · c) a la ecuación de segundo grado:

a · (a - 1) = 1 · 1 ⇒ a2 - a = 1 ⇒ a2 - a - 1 = 0.

Que tiene dos soluciones, siendo la positiva, la que nos interesa:

Esa es la relación que buscamos y a la que llamamos Φ.

Puesto que la solución de la ecuación a2 - a - 1 = 0 es la relación entre las longitudes de los segmentos, ésa será la misma cualquiera que sea el segmento del que partamos. Dicho de otra forma: la proporción áurea tendrá el mismo valor con independencia de la longitud del segmento inicial.

Puesto que en su expresión aparece una raíz cuadrada no exacta, el número Φ será un número irracional, lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal exacta. Y todavía más: que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita de modo periódico.

El número Φ es, pues, un número decimal no periódico, del que se pueden conocer, eso sí, tantas cifras decimales exactas como queramos aunque, de todas formas, no nos aportarán gran cosa ya que la importancia de Φ es más geométrica que numérica. En todo caso, Φ = 1'618033988749894 ..., con 15 decimales, tiene precisión más que suficiente para cualquier cálculo que queramos acometer.

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