02 - 09 - 2014

Número áureo, el

El número de oro, o número áureo, es un número irracional que se representa con la letra griega phi (Φ). Fue uno de los hallazgos de los griegos de la época clásica y su historia documentada comienza en uno de los libros más célebres, comentados y reimpresos de la historia: los Elementos de Geometría de Euclides, escrito alrededor del año 300 a.C.

La obra maestra de Euclides es uno de los libros fundamentales de nuestra cultura. El objetivo de Euclides al escribirlo era doble. Por una parte, quería recopilar todos los resultados de matemáticas conocidos en su época, es decir, componer una especie de enciclopedia que pudiera utilizarse como libro de texto en la enseñanza. Por otro lado, pretendía presentar un modelo de actuación para demostrar resultados y construir una teoría matemática, con axiomas y reglas de deducción.

El éxito de los Elementos en sus pretensiones es incontestable; su influencia ha sido decisiva en el desarrollo de la matemática universal a todos los niveles. De él se ha escrito: "Después de la Biblia y de las obras de Lenin, es el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas; ha sido hasta hace unos decenios, el libro de geometría para la enseñanza media". Puesto que las matemáticas son asignatura obligatoria en los sistemas educativos de todo el mundo, todos los seres humanos del planeta que han ido a la escuela han leído los Elementos escondido tras su libro de texto.

Elementos de Geometría se compone de trece libros. Del libro I al libro VI se dedica a la geometría elemental, del VII al X, a cuestiones numéricas, del XI al XIII a la geometría de los sólidos. En el libro VI, como tercera definición, aparece el texto que lo empezó todo: "Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor".

Esta "media y extrema razón", que aparece con tanta modestia, es el número que con posterioridad se llamará número de oro o número áureo y al que Luca Pacioli dedicará todo un tratado en 1509, dándole el nombre de divina proporción. Phi, Φ, el símbolo con el que hoy conocemos al número áureo, se le asignó en época muy posterior, a principios del siglo XX, cuando el matemático norteamericano Mark Barr propuso vincular el número con Fidias, y tomó prestada su inicial.


Valor del número áureo

A continuación, y puesto que ya hemos presentado el número e incluso lo hemos ubicado en el grupo de los irracionales, haremos por fin una inmersión profunda en su naturaleza matemática. Vamos a calcular el número Φ.

 

 

Si tenemos un segmento y en él tomamos dos partes, la partición que hemos hecho será en media y extrema razón, o sea, será una partición áurea, cuando:

Esta igualdad nos lleva (ya que para que dos fracciones sean iguales o equivalentes lo tienen que ser sus productos en cruz: a/b = c/d ⇔ a · d = b · c) a la ecuación de segundo grado:

a · (a - 1) = 1 · 1 ⇒ a2 - a = 1 ⇒ a2 - a - 1 = 0.

Que tiene dos soluciones, siendo la positiva, la que nos interesa:

Esa es la relación que buscamos y a la que llamamos Φ.

Puesto que la solución de la ecuación a2 - a - 1 = 0 es la relación entre las longitudes de los segmentos, ésa será la misma cualquiera que sea el segmento del que partamos. Dicho de otra forma: la proporción áurea tendrá el mismo valor con independencia de la longitud del segmento inicial.

Puesto que en su expresión aparece una raíz cuadrada no exacta, el número Φ será un número irracional, lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal exacta. Y todavía más: que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita de modo periódico.

El número Φ es, pues, un número decimal no periódico, del que se pueden conocer, eso sí, tantas cifras decimales exactas como queramos aunque, de todas formas, no nos aportarán gran cosa ya que la importancia de Φ es más geométrica que numérica. En todo caso, Φ = 1'618033988749894 ..., con 15 decimales, tiene precisión más que suficiente para cualquier cálculo que queramos acometer.


El rectángulo áureo

Para construir un rectángulo áureo, es decir aquel cuya proporción entre sus lados es Φ, se dibuja un cuadrado de lado AC y se señala el punto medio de uno de sus lados, a continuación, se traza una recta desde este punto hasta el vértice del lado opuesto y, finalmente, se lleva esta distancia sobre el lado inicial, con ello se obtiene el lado mayor, AB, del rectángulo áureo. La construcción descansa sobre el teorema de Pitágoras.


El pentagrama pitagórico

 

 

El número áureo se define también como la relación que existe entre la diagonal de un pentágono regular, d, y uno de sus lados, l.

 

 

 

 

Un pentágono mítico, que sirvió de símbolo tanto a los pitagóricos como a alquimistas medievales, fue el pentágono estrellado, también llamado pentagrama pitagórico, que se obtiene uniendo los vértices no consecutivos de un pentágono regular. Si los lados del pentágono miden una unidad, los del pentágono estrellado miden exactamente el número áureo.

 

 

 

 

 


El número de la naturaleza

El número Φ no sólo ha servido como patrón de belleza para las creaciones del hombre, sino que cosas de uso tan común, hoy en día, como las tarjetas de crédito e incluso las tarjetas multiviaje de los ferrocarriles guardan también la divina proporción.

La naturaleza utiliza asimismo a Φ como pauta de crecimiento en numerosos seres vivos. El patrón de crecimiento de la mayoría de las poblaciones de roedores, la distribución de las escamas en las piñas tropicales, el desarrollo espiral de la concha de los caracoles y los cuernos de las cabras, así como la distribución de las semillas en las plantas no son más que algunos de los muchísimos ejemplos que nos brinda la naturaleza de la presencia del número áureo en sus armoniosas formaciones.

La sección áurea también se encuentra presente en nuestro sistema solar: si consideramos que todos los planetas están alineados, se puede comprobar que cada uno de ellos divide la distancia entre los dos planetas vecinos según el número áureo. La única excepción es la Tierra.


Curiosidades del número áureo

Con una simple calculadora de bolsillo se pueden conseguir algunos resultados espectaculares con el número áureo. Por ejemplo, si se eleva el número áureo al cuadrado se obtienen las mismas cifras decimales:

Si dividimos la unidad por el número áureo, también obtenemos las mismas cifras decimales:

O la todavía más espectacular expresión:

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